Dr. Hermann Vogel - Zentrum Mathematik - Technische Universität München

Konstruktion der Schnittkurve eines Drehkegels und eines Torus mit Hilfe des Verallgemeinerten Kugelverfahrens und des Normalenverfahrens, vgl. (N)

Gegeben sind in Grund- und Aufriss ein Drehkegel (Spitze S, Achse a grundrissprojizierend, Leitkreis l) und ein Torus (Achse b aufrissprojizierend, Mittenkreis m), wobei a und b windschief liegen und a und m in der Aufrissebene (am) liegen.
Gesucht sind die Risse der Schnittkurve c dieser beiden Flächen.
Konstruieren Sie insbesondere die Risse eines Punktes P von c auf dem gegebenen Meridiankreis
k des Torus samt Tangente tP von c in P.

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Created with Cinderella

Klicken Sie sich zunächst mit Hilfe des Fragezeichens durch die Aufgabe, um anschließend die Aufgabe selbstständig durchzuführen. Betrachten Sie auch die Animation des Kugelverfahrens und des Normalenverfahrens.

Hilfsflächen des Torus zur Punktkonstruktion

Als Drehfläche kann man beim Torus T folgende Hilfsflächen verwenden:

Bei obiger Aufgabe gibt es nur eine Hilfsebene senkrecht zur Torusachse b durch die Kegelspitze S, nämlich die Aufrissebene (am). Diese liefert die Punkte B und C der Schnittkurve c.
Die einzige Hilfsebene durch die Torusachse b und die Kegelspitze S bzw. senkrecht zur Kegelachse a liefert keine Punkte der Schnittkurve c.
Da die Achsen a und b senkrecht zueinander liegen, gibt es keine Hilfsebene die auf beiden Achsen senkrecht steht.
Da die Achsen windschief liegen, kann man das (normale) Kugelverfahren nicht anwenden.
Weitere Kurvenpunkte erhält man somit nur mit dem:

Verallgemeinerten Kugelverfahren

Wählt man einen Meridiankreis k des Torus T, so kann man die Kugelschar durch k als Hilfskugeln verwenden. Die Mittelpunkte dieser Hilfskugeln liegen dabei auf der Kreisachse d von k, wobei mit der Wahl des Mittelpunktes der Radius r der Hilfskugel durch k festgelegt ist.
Da die Kreisachsen der Meridiankreise des Torus in der Mittenkreisebene - hier gleich der Aufrissebene (am) - liegen und damit die Drehkegelachse a schneiden, können die jeweiligen Schnittpunkte als Mittelpunkte von Hilfskugeln verwendet werden, die den Torus T im gewählten Meridiankreis k (und einer weiteren Kurve 6. Ordnung) und den Drehkegel D in einem Breitenkreis p schneiden.
Die Schnittpunkte des Meridiankreises k und des Breitenkreises p sind dann Punkte der gesuchten Schnittkurve c von D und T.

Bemerkung:
Auch beim Verallgemeinerten Kugelverfahren kann die Konstruktion der Schnittkurve in einem Riss durchgeführt werden. Im Gegensatz zum Kugelverfahren, bei dem alle Hilfskugeln den selben Mittelpunkt haben, wandern beim Verallgemeinerten Kugelverfahren die Mittelpunkte der Hilfskugeln je nach Wahl des Meridiankreises!


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Dr. Hermann Vogel , Zentrum Mathematik der TU-München ,