Dr. Hermann Vogel - Zentrum Mathematik - Technische Universität München

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Created with Cinderella

Schnittkurven zweier Flächen

Gegeben sind in Grund- und Aufriss ein Drehzylinder Z (Achse a aufrissprojizierend) und ein Drehkegel K (Spitze S, Achse b grundrissprojizierend, Leitkreis l).

Gesucht sind die Risse der Schnittkurve c dieser beiden Flächen.

Konstruieren Sie insbesondere die Risse:
a) eines allgemeinen Punktes von c sowie der Tangente von c in diesem Punkt,
b) eines Umrisspunktes U von c auf dem Grundrissumriss des Drehzylinders,
c) eines höchsten Punktes H von c.

Da der Drehzylinder Z im Aufriss als Kreis erscheint, ist der Aufriss c'' der gesuchten Schnittkurve c ein Kreisbogen. Es ist also "nur noch" der Grundriss c' von c zu konstruieren.

In nebenstehender Figur ist c' bereits lila eingetragen. Sie können durch Anklicken von a'' die Lage des Zylinders verändern. Sollte dabei c' verschwinden verschieben Sie bitte B'' geeignet. Da Cinderella zur Darstellung von c' nur eine gewisse Anzahl von Kurvenpunkten verwendet, erscheint der Verlauf nicht immer exakt.

Zur Punktkonstruktion

Man wählt eine geeignete Hilfsfläche F (i.a. eine Ebene oder Kugel), welche die gegebenen Flächen Z und K in einfachen Kurven (d.h. Geraden oder Kreisen) schneiden. Die Schnittpunkte dieser Kurven liegen auf der gesuchten Schnittkurve c.

Für den Drehzylinder Z eignen sich als Hilfsflächen:

Man beachte, dass Ebenen schräg zur Achse a den Drehzylinder Z in Ellipsen schneiden, die i.a. für die weitere Punktkonstruktion ungeeignet sind.

Für den Drehkegel K eignen sich als Hilfsflächen:

Man beachte, dass Ebenen schräg zur Achse b, die die Kegelspitze S nicht enthalten, den Drehkegel K in Ellipsen, Hyperbeln oder Parabeln schneiden, die i.a. für die weitere Punktkonstruktion ungeeignet sind.

Bei einer konkret gestellten Aufgabe sind aus diesen Tabellen die gemeinsamen Hilfsflächen zu wählen.

Kreisschnittverfahren

Da die Drehachsen a und b aufeinander senkrecht stehen, liegt jede Ebene, die senkrecht zu b ist, parallel zu a. Ebenen senkrecht zu b sind also gemeinsame Hilfsebenen von Z und K. Diese Hilfsebenen liefern Punkte von c, da sie den Kegel K in Breitenkreisen und den Zylinder Z in Erzeugenden schneiden.

Konstruktion eines Punktes P von c nach dem Kreisschnittverfahren.

Pendelebenenverfahren

Da die Achse a aufrissprojizierend liegt, sind die Ebenen parallel zu a durch S aufrissprojizierend. Diese Hilfsebenen liefern Punkte von c, da sie den Kegel K in Mantellinien und den Zylinder Z in Erzeugenden schneiden, und "pendeln" um eine Achse parallel zu a durch S!

Konstruktion eines Punktes Q von c nach dem Pendelebenenverfahren.

Man beachte:
Da die Drehachsen a und b windschief liegen, gibt es keinen Mittelpunkt für gemeinsame Hilfskugeln. Bei dieser Aufgabe kann somit das Kugelverfahren nicht angewendet werden.

Zur Tangentenkonstruktion

Die Tangente tP an die Schnittkurve c in einem Punkt P ist die Schnittgerade der beiden Tangentenebenen T1 und T2 der beiden Flächen im Punkt P, liegt also senkrecht zu den beiden Flächennormalen n1 und n2 der beiden Flächen, sofern die beiden Tangentenebenen nicht zusammenfallen ( => spezielle Kurvenpunkte, in denen die Tangenten nur mit tieferem differentialgeometrischem Wissen konstruiert werden können).
Damit ergeben sich zwei verschiedene Verfahren zur Konstruktion von tP:

Das Normalenverfahren

Da tP senkrecht zu n1 und n2 liegt, steht tp auf der von n1 und n2 aufgespannten Ebene N=n1n2 senkrecht, erscheint also im Grundriss senkrecht zum Grundriss einer Höhenlinie h von N und im Aufriss senkrecht zu Aufriss einer Frontlinie f von N. Da n1 und n2 den Punkt P enthalten, genügt es jeweils einen zweiten Punkt N1 bzw. N2 auf n1 bzw. n2 zu bestimmen. Die Ebene N ist dann die Dreiecksebene der Punkte P, N1 und N2.

Die Normale n1 des Drehzylinders Z enthält den Mittelpunkt N1des Breitenkreises des Zylinders durch P. N1 liegt auf der Zylinderachse a.
Die Normale n2 des Drehkegels K scheidet die Kegelachse b in einem Punkt N2, der in einer Paralleldrehung der Meridianebene Pb zum Aufriss konstruiert wird.
Die Konstruktion einer Höhenlinie h und einer Frontlinie f von N=PN1N2 ist dann eine Wiederholung der Grundaufgaben.

Konstruktion der Tangente tP von c im Punkt P nach dem Normalenverfahren.

Das Tangentenebenenverfahren

Da tP den Punkt P enthält, genügt es einen weiteren Punkt T von tP zu konstruieren. Diesen findet man als Schnittpunkt der beiden Spuren s1 und s2 der beiden Tangentenebenen T1 und T2 in einer Hilfsebene X, die den Punkt P nicht enthält. Dabei wählt man die Hilfsebene X geeignet so, dass man die Spuren s1 und s2 möglicht einfach konstruieren kann.

Die Tangentenebene T2 des Drehkegels K im Punkt P fällt mit der Tangentenebene des Drehkegels K im Punkt L zusammen, enthält also neben der Kegelmantellinie mP die Leitkreistangente im Punkt L. Wählt man die Leitkreisebene als Hilfsebene X, so ist diese Leitkreistangente die Spur s2 von T2 in X.
Da die Tangentenebenen des Drehzylinders Z aufrissprojizierend liegen, ist auch die Spur s1 von T1 in der Hilfsebene X einfach zu gewinnen.
Der Schnittpunkt T der beiden Spuren s1 und s2 liefert dann zusammen mit dem Punkt P die Kurventangente tP.

Konstruktion der Tangente tQ von c im Punkt Q nach dem Tangentenebenenverfahren.


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Dr. Hermann Vogel , Zentrum Mathematik der TU-München ,