Dr. Hermann Vogel - Zentrum Mathematik - Technische Universität München

Rekonstruktion eines Prismas

Ein Prisma P mit parallelen Kanten AE, BF, CG, DH werde durch zwei Ebenen E1 und E2 in zwei Vierecken ABCD und EFGH geschnitten.
Untenstehender Parallelriss zeigt das Bild des Prismas unvollständig.
Ergänzen Sie die fehlende Ecke H und die fehlenden Kanten DH, EH und GH des Prismas P!

Sie können die gewünschten Objekte durch Anklicken aktivieren oder deaktivieren, mit dem "Fragezeichen" Hinweise holen, mit dem "leeren Blatt" rechts die Bearbeitung der Aufgabe neu starten und nach Anklicken des ersten Buttons die Ausgangsdaten A, B, C, ... variieren.

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Created with Cinderella

Die Rekonstruktion zeigt, dass die Ecke H offenbar eindeutig festgelegt ist.

Die parallelen Kanten des Prismas sind die Projektionsstrahlen einer Parallelprojektion der Ebene E1 auf die Ebene E2, die das Viereck ABCD auf das Viereck EFGH abbildet. Liegen die Ebenen nicht parallel zur Projektionsrichtung, so ist diese Parallelprojektion von E1 auf E2:

(A1) bijektiv, (A2) geradentreu, (A3) parallelentreu und (A4) teilverhältnistreu.

Unter Einbeziehung von Fernpunkten gilt weiter:

(P1) Die Verbindungsgeraden von Punkten zu ihren Bildpunkten liegen
zueinander parallel;
(P2) Jede Gerade schneidet ihre Bildgerade auf der Schnittgeraden der
beiden Ebenen E1 und E2, der Fixpunktgeraden der Abbildung
.

Eine solche Abbildung heißt pespektive Affinität, die Verbindungsgeraden von Punkten zu ihren Bildpunkten Affinitätsstrahlen und die Schnittgerade der beiden Ebenen Affinitätsachse a. Ihre Eigenschaften sind im Raum anschaulich klar.

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Eine perspektive Affinität ist (im Raum wie in der Ebene) eindeutig durch die Vorgabe der Affinitätsachse und eines Punkt-Bildpunkt-Paars (P,P') festgelegt.

Nebenstehende Figur zeigt die Konstruktion des Bildpunktes Q' zu einem vorgegebenen Punkt Q.

Die Gerade PQ schneidet die Affinitätsachse a im Fixpunkt F = F' (, der auch ein Fernpunkt sein kann!). Q ist dann der Schnittpunkt des Affinitätsstrahls parallel zu PP' durch Q mit der Bildgeraden P'F von PQ.

Fragen:
Versuchen Sie die Konstruktion mit den oben angegebenen Eigenschaften zu begründen!
Für welche Lagen von Q muss die Konstruktion modifiziert werden?
Was gilt im Fall, dass F ein Fernpunkt ist?
Variieren Sie dazu die Lage der Punkte Q, P und P' durch Anklicken und Verschieben!

Hinweis:
Gehen Sie nun zu den Affinen Grundkonstruktionen!


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Ich freue mich auf Rückmeldungen und weitere Anregungen per E-mail: vogel@ma.tum.de !
Dr. Hermann Vogel , Zentrum Mathematik der TU-München ,