Dr. Hermann Vogel - Zentrum Mathematik - Technische Universität München

Konstruktion einer Ellipse mit Hilfe der beiden Scheitelkreise nach De-La-Hire

Eine Ellipse e mit den Halbachsen a und b ist affin zu ihrem Hauptscheitelkreis ka mit Radius a und affin zu ihrem Nebenscheitelkreis kb mit Radius b. Da die Hintereinanderausführung der Affinität von kb auf e mit Pb -> P und der Affinität von e auf ka mit P -> Pa eine zentrische Streckung von kb auf ka mit Pb -> Pa und dem Zentrum M ist, ergibt sich folgende Konstruktion des Ellipsenpunktes P:

  • Eine beliebige Gerade durch den Mittelpunkt M schneidet kb in Pb und ka in Pa.
  • Die Parallele zur Hauptachse MS1 durch Pb schneidet die Parallele zur Nebenachse MS3 durch Pa im Ellipsenpunkt P.
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Konstruktion von Ellipsenscheiteln mit Hilfe der Umkehrung der De-La-Hire-Konstruktion

Von einer Ellipse e seien gegeben zwei Scheitel S1 und S2 auf einer Symmetrieachse und ein weiterer Punkt P. Konstruieren Sie die Scheitel S3 und S4 auf der zweiten Symmetrieachse.

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Sie können die gewünschten Objekte durch Anklicken aktivieren oder deaktivieren, mit dem "Fragezeichen" Hinweise holen, mit dem "leeren Blatt" die Bearbeitung der Aufgabe neu starten und nach Anklicken des ersten Buttons den Punkt P verschieben.

Trägt man in obiger Figur die Schnittpunkte X und Y der Parallelen zu MPa durch P mit der Hauptachse x=MS1 bzw. mit der Nebenachse x=MS3 ein, so erkennt man, dass die Vierecke MPaPY und MPbPX Parallelogramme sind, also für die Abstände der kollinearen Punkt P, X, Y stets a=!PY! und b=!PX! gilt, wobei X auf der Hauptachse, Y auf der Nebenachse und P auf der Ellipse liegt.

Klicken Sie den Punkt Pa an, verschieben Sie ihn längs des Kreises ka und beobachten Sie dabei den Stab PXY!

Dies liefert die:

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Papierstreifenkonstruktion einer Ellipse

Wird ein Stab mit den fest gewählten kollinearen Punkten P, X, Y so bewegt, dass die Punkte X und Y auf zueinander orthogonalen Geraden x und y liegen, so durchläuft P eine Ellipse mit den Hauptachsen x und y und den Halbachsen a=!PY! und b=!PX!.

Konstruktion von Ellipsenscheiteln mit Hilfe der Umkehrung der Papierstreifenkonstruktion

Von einer Ellipse e seien gegeben zwei Scheitel S1 und S2 auf einer Symmetrieachse und ein weiterer Punkt P. Konstruieren Sie die Scheitel S3 und S4 auf der zweiten Symmetrieachse.

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RYTZsche Achsenkonstruktion

Von einer Ellipse e seien zwei konjugierte Halbmesser MP und MQ gegeben.
Folgende Konstruktionsschritte liefern die Scheitel S1,...,S4 von e.

  1. Drehung von Q um M durch 90 nach Q*.
  2. Halbieren der Strecke PQ* liefert deren Mittelpunkt H.
  3. Der Kreis um H durch M trifft PQ* in den Punkten X und Y.
  4. Abtragen von !PY! auf MX von M aus liefert die Scheitel S1 und S2.
  5. Abtragen von !PX! auf MY von M aus liefert die Scheitel S3 und S4.

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Sie können die gewünschten Objekte durch Anklicken aktivieren oder deaktivieren, mit dem "Fragezeichen" Hinweise holen, mit dem "leeren Blatt" die Bearbeitung der Aufgabe neu starten und nach Anklicken des ersten Buttons die Ausgangsdaten (hellrote Punkte) variieren.

Bemerkung:
Sind zwei konjugierte Halbmesser MP und MQ einer Ellipse e bekannt, so lässt sich e vektoriell wie folgt parametrisieren:

OX = OM + MP*cos(t) + MQ*sin(t), 0 < t < 2*pi.

Nebenstehende Beweisskizze zur Konstruktion von RYTZ zeigt zudem, dass der Radiusstrahl MPa den (a+b)-Kreis k(a+b) um M mit dem Radius a+b in einem Punkt P(a+b) schneidet, der auf der Ellipsennormalen im Punkt P liegt!

Begründung:
PP(a+b) liegt parallel zu MQ*, also senkrecht zu MQ und damit senkrecht zur Ellipsentangente im Punkt P, die parallel zu MQ ist, da MP und MQ konjugierte Halbachsen sind.

Beachten Sie ferner, dass der Thaleskreis um N durch M offenbar den (a+b)-Kreis in P(a+b) berührt!

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Ich freue mich auf Rückmeldungen und weitere Anregungen per E-mail: vogel@ma.tum.de !
Dr. Hermann Vogel , Zentrum Mathematik der TU-München ,