Dr. Hermann Vogel - Zentrum Mathematik - Technische Universität München

Ellipsenkonstruktionen

Der Ellipsenverlauf lässt sich anhand gegebener Punkte und Tangenten graphisch skizzieren. Ein solcher (handgezeichneter) Verlauf darf aber bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal , z.B. zur Konstruktion der Tangenten an eine Ellipse oder zur Konstruktion der Schnittpunkte einer Geraden und einer Ellipse, nicht als Konstruktionslinie verwendet werden.
Da jede Ellipse ein affines Kreisbild ist, kann man die Affinität ausnutzen, um die Konstruktion am Kreis durchzuführen und das Ergebnis zurückzutransformieren.

Ellipsenkonstruktionen erfolgen daher mit Hilfe von Affinitäten nach folgendem Schema:

  1. Affinität von Ellipse e auf Kreis k = e' wählen.
  2. Affinität (Ellipse à Kreis) auf alles zur Konstruktion Nötige anwenden.
  3. Konstruktion am Kreis k = e' durchführen.
  4. Ergebnis mittels der inversen Affinität (Kreis à Ellipse) zurückübertragen.

Dieses Schema wird in der Mathematik häufig verwendet.

Ist ein Problem P nicht direkt lösbar, so sucht man eine Transformation, die das Problem auf ein Problem P' abbildet, dessen Lösung L' einfacher zu finden ist. Die Lösung L des Problems P ergibt sich dann durch Rücktransformation der Lösung L'.

Wie findet man aber zu einer Ellipse eine Affinität derart, dass die Ellipse affines Kreisbild unter dieser Affinität ist? Folgende Aufgabe zeigt, dass eine Ellipse zu jedem Kreis affin ist, der mit ihr einen Durchmesser gemeinsam hat:

Gegeben seien konjugierte Halbmesser MP, MQ einer Ellipse e.
Geben Sie eine (perspektive) Affinität an, welche die Ellipse e auf einen Kreis k=e' abbildet..

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Created with Cinderella
Sie können die gewünschten Objekte durch Anklicken aktivieren oder deaktivieren, mit dem "Fragezeichen" Hinweise holen, mit dem "leeren Blatt" rechts die Bearbeitung der Aufgabe neu starten und nach Anklicken des ersten Buttons den Punkt Q verschieben.

Bemerkung:
Beachten Sie, dass man bei obigem Vorgehen je nach Wahl der Affinitätsachse MP oder MQ und der beiden Schnittpunkte der Normalen zu MP bzw. MQ durch M mit dem Kreis vier verschiedene Affinitäten von einer Ellipse auf einen Kreis erhält.

Im Folgenden sei eine Ellipse e jeweils durch ein Paar konjugierter Halbmesser MP, MQ gegeben.

  1. Man konstruiere die zu einer gegebenen Geraden g parallelen Ellipsentangenten t1 und t2 einschließlich der Berührpunkte B1 und B2 auf e.
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  3. Man konstruiere die Tangenten t1 und t2 von einem gegebenen Punkt T an die Ellipse e einschließlich der Berührpunkte B1 und B2 auf e.
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  5. Man konstruiere die Schnittpunkte G1 und G2 einer gegebenen Geraden g und der Ellipse e.
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Schlußbemerkung:
Obige Konstruktionen sind bei Verwendung von Computern nicht mehr notwendig, da die Schnittpunkte von Geraden mit Kegelschnitten direkt berechnet werden können. Bei der Bestimmung der Tangenten von Kegelschnitten kann man auf die Polarentheorie zurückgreifen.


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Dr. Hermann Vogel , Zentrum Mathematik der TU-München ,