Dr. Hermann Vogel - Zentrum Mathematik - Technische Universität München

Axonometrie

In einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem (O; x; y; z; E) (Orthonormalsystem) bestimmt jeder Punkt P(x,y,z) wie folgt einen Koordinatenquader:
Die Parallelen zu den Achsen durch den Punkt P schneiden die Koordinatenebenen in den Punkten P'=(x,y,0) in der xy-Ebene, P''=(0,y,z) in der yz-Ebene und P'''=(x.,0,z) in der xz-Ebene. Diese Punkte P', P'', P''' bezeichnet man als Risse von P in den Koordinatenebenen (Grundriss, Aufriss, Kreuzriss) und legen in den jeweiligen Koordinatenebenen zusammen mit dem Ursprung O Rechtecke mit Kanten parallel zu den Achsen fest. Dabei erhält man die Eckpunkte Px=(x,0,0), Py=(0,y,,0) und Pz=(0,0,z) des Koordinatenquaders auf den Achsen.
Auf diese Weise ist jedem Punkt P umkehrbar eindeutig ein Zahlentrippel (x,y,z) zugeordnet.
Man beachte: Sind zwei verschiedene Risse von P bekannt, so sind alle drei Koordinaten von P bekannt, und P im Raum festgelegt.

Projeziert man ein (kartesisches) Koordinatensystem (O; x; y; z) mit den Einheitspunkten Ex, Ey und Ez auf den Koordinatenachsen und dem Koordinatenquader zum Punkt P in eine Bildebene parallel zu einer Projektionsrichtung s, so erhält man als Bild in der Bildebene:

  1. ein ebenes Dreibein (O*,x*,y*,z*) mit den Bildern der Einheitspunkte Ex*, Ey* und Ez*, wobei deren Abstände von O* im allgemeinen verschieden lang sind,
  2. einen ebenen Koordinatenquader mit je einer Ecke Px*, Py*, Pz* auf den Bildern der Achsen und den weiteren Ecken O*, P'*, P''*, P'''* und P*.

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Sie können die Koordinaten (x,y,z) von P, die Einheit E sowie die Bilder der Einheitspunkte Ex, Ey, Ez auf den Achsen, sowie die Achsenrichtungen durch Anklicken der hellroten Punkte verändern.

P*(x*,y*,z*) heißt axonometrisches Bild von P, P'*(x*,y*,0) axonometrischer Grundriss von P, usw.
Aus der Teilverhältnistreue und Parallelentreue der Parallelprojektion folgt:

  1. die Bilder der Seiten des Koordinatenquaders sind Parallelogramme,
  2. x*=x mal Ex*/E, y*=y mal Ey*/E und z*=z mal Ez*/E.
Dabei sind die Verzerrungen oder Verkürzungsverhältnisse Ex*/E, Ey*/E, Ez*/E in x-, y-, z-Richtung im allgemeinen verschieden. Oft werden statt der Bilder der Einheitspunkte auf den Achsen die Verzerrungen für die Achsenrichtungen angeben.

Ist das Bild eines Koordinatensystems unter einer Parallelprojektion mit den Verzerrungen für die Achsenrichtungen gegeben, so ist das Bild eines Punktes P mit den Koordinaten (x,y,z) wie folgt nach der Aufbaumethode in der Bildebene einzutragen:
Man ermittelt mit dem Taschenrechner (oder zeichnerisch mit Verkürzungsmaßstäben) die "Koordinaten" x*, y*, z* von P* und trägt diese parallel zu den Bildern der Achsen an, z.B. beginnend mit Px* auf der x*-Achse, dann P'* auf der Parallelen zur y*-Achse durch Px* und schließlich P* auf der Parallelen zur z*-Achse.

Aus den bisherigen Überlegungen folgt:

In einem ebenen Dreibein (O*; x*; y*; z*; Ex*; Ey*; Ez*) kann man mit Hilfe eines ebenen Koordinatenquaders den Bildpunkt P* eines jeden Punktes konstruieren, dessen Koordinaten (x,y,z) bekannt sind.

Ein nach diesem Satz hergestellter Parallelriss eines räumlichen Objekts heißt normale Axonometrie, falls die Projektionsrichtung senkrecht zur Bildebene steht, sonst allgemeine oder schiefe Axonometrie. Das ebene Dreibein kann nach folgendem Satz von POHLKE für eine Axonometrie (im Prinzip) beliebig gewählt werden:

Jedes ebene Dreibein ist ein Parallelriss eines räumlichen kartesischen Koordinatensystems, dessen Einheitsstrecke durch das ebene Dreibein bestimmt ist.

Man erhält bei schiefer Axonometrie allerdings nicht immer anschauliche Bilder, d.h. Bilder wie man die Objekte mit den Augen sehen würde, z.B. beim Schrägriss, bei dem die Bildebene parallel zu einer Koordinatenebene gewählt ist. Da alle Ebenen, die zur Bildebene parallel liegen, kongruent abgebildet werden, kann man in diesem Fall das axonometrische Bild besonders einfach zeichnen.

Bemerkungen:
Bei einem Schrägriss lassen sich die Bilder als Schattenrisse der Objekte auf eine Leinwand deuten. Die Lichteinfallsrichtung lässt sich dabei leicht rekonstruieren.

Man kann auch ein axonometrisches Bild eines nicht rechtwinkligen Koordinatensystems erzeugen. Der Koordinatenquader ist dann ein Parallelepiped (Spat) mit Parallelogrammen als Seitenflächen.

Hinweis:
Sie können nun die Axonometrie eines Rohrknies zeichnen!


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Dr. Hermann Vogel , Zentrum Mathematik der TU-München ,