Dr. Hermann Vogel - Zentrum Mathematik - Technische Universität München

Ellipse als affines Kreisbild

Schneidet man einen Drehzylinder mit einer Ebene E2 schräg zur Zylinderachse d, so ist die Schnittkurve affines Bild des Schnittkreises des Drehzylinders in einer Ebene E1 senkrecht zur Zylinderachse d bezüglich der Parallelprojektion von E1 auf E2 mit Projektionsrichtung parallel zu d. Die Schnittkurven sind jeweils Ellipsen, spezielle Kegelschnitte.

Nebenstehendes Bild zeigt den
Drehzylinder in Normal-
projektion
, d.h. unter einer
Parallelprojektion normal (senkrecht) zur Bildebene.

Folgende Variationen sind möglich durch Anklicken und Verschieben von:

A: Neigung des Drehzylinders zur Blickrichtung,
B: Lage der Affinitätsachse a (Schnittgerade von E1 und E2) in E1.
C: Projektionsstrahl P1P2 zwischen Kreis in E1 und Ellipse in E2

R1: Zylinderradius.
D1: Abstand der Mittelpunkte M1,M2.
D2: Abstand von der Affinitätsachse a und der Zylinderachse d.

Hinweis: Bei der Figur, die mit Hilfe des Programms Cinderella erzeugt wurde, treten Probleme auf, wenn der Kreis projizierend erscheint!

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.

Aufgrund der Bijektivität und der Geradentreue der Affinitäten werden Kreistangenten auf Ellipsentangenten abgebildet. Das Bild eines Paars orthogonaler Kreisdurchmesser ist ein Paar konjugierter Ellipsendurchmesser. Konjugierte Ellipsendurchmesser erfüllen aufgrund der Parallelentreue und der Teilverhältnistreue der Affinitäten folgende Eigenschaften:

(1) Die Ellipsentangenten in den Endpunkten eines Durchmessers sind parallel zum konjugierten Durchmesser.
(2) Die zu einem Durchmesser parallelen Ellipsensehnen werden vom konjugierten Durchmesser halbiert.
(3) Konjugierte Durchmesser einer Ellipse gehen bei Parallelprojektion in konjugierte Durchmesser der Bildellipse über.

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Drehen Sie durch Anklicken den Punkt P1 in obiger Figur so um den Mittelpunkt M1, dass M2P2 und M2Q2 die Symmetrieachsen der Ellipse sind.

Wenn die Ellipse kein Kreis ist, existiert genau ein Paar orthogonaler konjugierter Ellipsendurchmesser. Dieses Paar bildet zugleich das Paar extremaler Ellipsendurchmesser, das Paar der Symmetrieachsen der Ellipse und damit das Paar der Haupt- und Nebenachsen der Ellipse, deren Endpunkte die Scheitel der Ellipse sind.

Wie man die Scheitel des affinen Kreisbildes im Fall, dass die Mittelpunkte M und M' des Kreises und des Kreisbildes nicht zusammenfallen, konstruieren kann, zeigt folgende Aufgabe:

Gegeben seien ein Kreis k mit Mittelpunkt M durch den Punkt K sowie eine Gerade a und ein weiterer Punkt M', wobei weder M noch M' auf a liegen und MM' nicht senkrecht zu a liegt. Die Ellipse e sei das affine Bild k' des Kreises k unter der (perspektiven) Affinität mit der Affinitätsachse a und dem Punkt-Bildpunkt-Paar (M,M').
Konstruieren Sie die Scheitel S1',...,S4' der Ellipse e=k'.

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Created with Cinderella
Sie können die gewünschten Objekte durch Anklicken aktivieren oder deaktivieren, mit dem "Fragezeichen" Hinweise holen, mit dem "leeren Blatt" rechts die Bearbeitung der Aufgabe neu starten und nach Anklicken des ersten Buttons die Punkte M, M' und K verschieben.

Hinweis:
Diese einfache Konstruktion der Ellipsenscheitel wird häufig verwendet, z.B. bei der Aufgabe Rohrknie.
Im Fall, dass die beiden Mittelpunkte M und M' des Kreises und des Kreisbildes zusammenfallen, können die Scheitel mit Hilfe der RYTZschen Achsenkonstruktion bestimmt werden.
Im Fall, dass MM' senkrecht zur Affinitätsachse liegt, muss die Konstruktion der Scheitel wie folgt modifiziert werden:

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Hinweis:
Nach dieser Einführung können Sie bereits erste Konstruktionen mit Ellipsen durchführen.


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Dr. Hermann Vogel , Zentrum Mathematik der TU-München ,